Эти два метода придуманы для использования в Java Collections Framework и связаны общим контрактом, для соблюдения которого переопределять их необходимо вместе. Методы обязательно нужно переопределить чтобы эффективно использовать экземпляры как ключи в HashMap или HashSet. HashMap работает тем эффективнее, чем «лучше» распределение хэшей.

Контракт:
1. Если объекты equals, у них должны быть одинаковые hashCode (не обязательно наоборот – коллизии допустимы!)
2. equals должен быть отношением эквивалентности
3. Ничто не может быть equals(null)
4. equals и hashCode должны возвращать одни и те же значения для одного и того же объекта при каждом последующем вызове, даже если состояние объекта изменилось. Это делает реализацию для изменяемых (mutable) объектов крайне сложной.

По умолчанию equals сравнивает на ==. С умолчательным hashCode дела обстоят интереснее: он зависит от реализации JVM, и может быть неожиданным. Например в OpenJDK 7 это случайное число.

Подробная инструкция по переопределению этих методов описана в Effective Java Item 9 (больше деталей о волшебном числе 31 здесь).